Статистические представления сформировались как самосто ятельное научное направление в середине XX в., хотя возникли значительно раньше (с историей становления статистических представлений можно ознакомиться, например, в [И, 14]). Основу этих представлений составляет отображение явлений и процессов с помощью случайных (стохастических) событий и их поведения, которые описываются соответствующими вероят ностными (статистическими) характеристиками и статистически ми закономерностями. Термин стохастические уточняет понятие случайный, которое в обыденном смысле принято связывать с отсутствием причин появления событий, с появлением не только повторяющихся и подчиняющихся каким-то закономерностям, но и единичных со бытий; процессы же, отображаемые статистическими закономер ностями, должны быть жестко связаны с заранее заданными, оп ределенными причинами, а случайность означает, что они могут появиться или не появиться при наличии заданного комплекса причин. Статистические отображения системы в общем случае (по аналогии с аналити ческими) можно представить [4, 5, 6] (см. символический образ на рис. 1) как бы в виде «размытой» точки (размытой облас ти) в г2-мерном пространстве, в которую 0[SJ переводит систему (ее учитываемые в мо дели свойства) оператор Ф[5'^. «Размы тую» точку следует понимать как некото рую область, характеризующую движение Рис. 1 системы (ее поведение); при этом грани цы области заданы с некоторой вероятностью р (под вероятнос тью события понимается/7(Л)= т/п, где т - число появлений со бытия А, п- общее число опытов; если при п —> с» (т/п) —> const.), т.е. «размыты», и движение точки описывается некоторой слу чайной функцией. 679 Закрепляя все параметры этой области, кроме одного, можно получить срез по линии а-Ь, смысл которого -- воздействие дан ного параметра на поведение системы, что можно описать стати стическим распределением по этому параметру. Аналогично можно получить двухмерную, трехмерную, «-мерную картины статистического распределения. Статистические закономерности можно представить в виде дискретных случайных величин и их вероятностей или в виде не прерывных зависимостей распределения событий, процессов. Для дискретных событий соотношение между возможными значениями случайной величины х. и их вероятностями р. назы вают законом распределения и либо записывают их в виде ряда (таблица), либо представляют в виде зависимостей F{x) (рис. 2, а) vijmp{x) (рис. 2, в). X р{х) X, А Х2 Рг х. р, х„ Рп При этом ^(^) = ХА(^/)- (1) Для непрерывных случайных величин (процессов) закон рас пределения представляют (соответственно дискретным законам) либо в виде функции распределения (интегральный закон распре деления - рис. 2, б), либо в виде плотности вероятностей (диффе ренциальный закон распределения - рис. 2, г). В этом случае/>(х) = dF{x)ldx и AF(x) =/?(x)A;v:, где/?(х) - вероятность попадания слу чайных событий в интервал от х до х+Дх. Для полной группы несовместных событий имеют место ус ловия нормирования: функции распределения /•=1 и плотности вероятности оо J p(,x)dx = F(oo) - F(-^) = 1-0 = 1. (2) (2fl) 680 F(x) ^3 a X P W A T T L J _ X PMA Xj + AXj X Рис.2 В монографиях и учебниках применяют тот или иной вид за висимостей, приведенных на рис. 2, более подходящий для соот ветствующих приложений. Закон распределения является удобной формой статистичес кого отображения системы. Однако получение закона (даже од номерного) или определение изменений этого закона при про хождении через какие-либо устройства или среды представляет собой трудную, часто невыполнимую задачу. Поэтому в ряде слу чаев пользуются не распределением, а его характеристиками - начальными и центральными моментами. Наибольшее применение получили: 1-й начальный момент - математическое ожидание, или сред нее значение случайной величины /=1 для дискретных величин, (3) А72д. = J р(х) dx - ДЛЯ непрерывных величин; 681 2-й центральный момент - дисперсия случайной величины: а / = X С-^/ - '"v) А(-^/) ~ да^ дискретных величин; /=1 (4) ОТ = J (д^-w ) p{x)dx - для непрерывных величин. —оо На практике иногда используется не дисперсия аД а среднее квадратическое отклонение о^. Связь между системами в общем случае характеризуется ко- вариацией - моментом связи, для двухмерного распределения обо значаемой COV(A% У), ИЛИ т^.^., или М[{х - т^)(у - т^)]. Можно использовать ковариацию нормированных отклоне ний - коэффициент корреляции r = cov(.Y', v')-M (х-т^){у-ту) G,Gy (5) где л' = (л' - /п^Ус^, у' = (у - т^)/о^. - нормированные отклонения; о^,а - среднеквадратические отклонения. Практическое применение получили в основном одномерные распределения, что связано со сложностью получения статисти ческих закономерностей и доказательства адекватности их при менения для конкретных приложений, которое базируется на по нятии выборки. Под выборкой понимается часть изучаемой совокупности явлений, на основе исследования которой получают статистичес кие закономерности, присущие всей совокупности и распростра няемые на нее с какой-то вероятностью. Для того чтобы полученные при исследовании выборки закономерности можно было распространить на всю совокуп ность, выборка должна быть представительной (репрезентатив ной), т.е. обладать определенными качественными и количествен ными характеристиками. Качественные характеристики связаны с содержательным аспектом выборки, т.е. с определением, явля ются ли элементы, входящие в выборку, элементами исследуемой совокупности, правильно ли отобраны эти элементы с позиции цели исследования (с этой точки зрения выборка может быть слу чайной, направленной или смешанной). Количественные харак теристики представительности выборки связаны с определением объема выборки, достаточного для того, чтобы на основе ее ис- 682 следования можно было делать выводы о совокупности в целом; уменьшение объема выборки можно получить на основе эргоди- ческого свойства, т.е. путем увеличения длительности статисти ческих испытаний (в большинстве практических случаев вопрос о количественных характеристиках выборки является предметом специального исследования). На базе статистических представлений развивается ряд мате матических теорий: • теория вероятностей и математическая статистика [3, 12, 15 и др.], объединяющая различные методы статистического анали за (регрессионный, дисперсионный, корреляционный, факторный и т.п.); • теория статистических испытаний, основой которой явля ется метод Монте-Карло, а развитием - теория статистического имитационного моделирования; • теория выдвижения и проверки статистических гипотез, возникшая для оценки процессов передачи сигналов на расстоя нии и базирующаяся на общей теории статистических решающих функций А.Вальда [2]. Частным случаем теории выдвижения ги потез, важным для теории систем, является байесовский подход к исследованию процессов передачи информации в процессах общения, обучения и других ситуациях в организационных сис темах; • теория потенциальной помехоустойчивости, начала кото рой положены работами В.А. Котельникова [10], проводивши мися независимо от теории решающих функций; • обобщающая последние два направления теория статисти ческих решений, в рамках которой, в свою очередь, возник ряд интересных и полезных для практики направлений. Перечисленные направления в большинстве своем носят тео ретико-прикладной характер и возникали из потребностей прак тики. Однако есть и ряд дисциплин, которые носят более выра женный прикладной характер. В их числе - статистическая радиотехника, статистическая теория распознавания образов, эко номическая статистика, теория массового обслуживания, а так же развившиеся из направлений, возникших на базе аналитичес ких представлений, стохастическое программирование, новые разделы теории игр и т.п. Расширение возможностей отображения сложных систем и процессов по сравнению с аналитическими методами можно 683 объяснить тем, что в случае применения статистических представ лений процесс постановки задачи как бы частично заменяется статистическими исследованиями, позволяющими, не выявляя все детерминированные связи между изучаемыми объектами (собы тиями) или учитываемыми компонентами сложной системы, на основе выборочного исследования (исследования репрезентатив ной выборки) получать статистические закономерности и рас пространять их на поведение системы в целом. Однако не всегда можно получить статистические закономер ности, не всегда может быть определена репрезентативная вы борка, доказана правомерность применения статистических за кономерностей. Если же не удается доказать репрезентативность выборки или для этого требуется недопустимо большое время, то применение статистических методов может привести к невер ным результатам. В таких случаях целесообразно обратиться к методам, объе диняемым под общим названием ~ методы дискретной матема тики, которые помогают разрабатывать языки моделирования, модели и методики постепенной формализации процесса приня тия решения. Статистические и теоретико-множественные методы иници ировали возникновение теории «размытых» множеств Л. Заде [9], которая, в свою очередь, явилась началом развития нового на правления - теории нечетких формализации (см. Нечеткие, или размытые, миоэ/сества) и т.д. Отметим, что понятия исходных направлений не всегда со храняются в неизменном виде; в частности, в теории Заде дается иная трактовка понятия вероятности (см.) по сравнению со ста тистической.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ» з дисципліни «Теорія систем і системний аналіз в управлінні організаціями»
