Общая задача бесконечномерного программирования состо ит в максимизации функционала /(.Y), определенного на некото ром множестве /С топологического линейного пространства А'при ограничениях F(x) < О, Н(х) = 0. Здесь F : X - > F , Н : X -^ W- отображения (операторы); V, W - некоторые (в общем случае другие) топологические линейные пространства; в V задан вы пуклый конус Ку, и неравенство v, < V2 в F означает по определе нию, что Vj - V2 е К у. Векторы хе К, удовлетворяющие ограни чениям F(x) < О, Н(х) = О, называются допустимыми, а искомые векторы - оптимальными. Обычно предполагается, что К и Ку замкнутые множества, а /, F и Н непрерывны. Задачи минимизации, а также задачи, в которых ограничение задается противоположным неравенством (т.е. «больше, равно»), укладываются в эту схему, так как умножением на (-1) функцио нала или неравенства они сводятся к задаче максимизации с ог раничением вида «меньше, равно». Иногда рассматривают задачи с несколькими ограничения ми типа неравенств и равенств: F,(x) < О,..., Fmi(x) < О, Hi(x) = О,..., Нт^(х) = О, где F.:X-^ К. (/, ...,ш,); Hj^: Х—> Ж^ {к = \, ... , tHj), и неравенства в V. определяются некото рым выпуклым конусом К. с V.. Эта задача является частным случаем первоначальной и фор мально сводится к ней, если положить V= Kj х... х Vm^, W-W^x,.. X Wm^, К у - К^х ... X К^^^ и рассмотреть отображения F(x) = (F,(x);..., Г/77,(х)), Н(х) = (Н,(х),... , Нт^Сх)). Класс задач бесконечномерного программирования с конеч ным числом функциональных ограничений сводится к задачам конечномерного математического программирования. Теоретически наиболее разработаны бесконечномерное выпук лое программирование [1, 2, 4] и его часть - бесконечномерное ли нейное программирование [1, 3]. Отдельные результаты (например, обобщенная теорема двойственности) разработаны для общей задачи бесконечномерного программирования [2]. В теории бесконечномерного выпуклого программирования изучаются задачи, в которых отображение Н линейно, а множе ство К, функционал/и отображение F выпуклы. Задачи, где К выпуклое множество, а/, F и Н линейны, относятся к бесконеч номерному линейному программированию. Основным результа том бесконечномерного выпуклого программирования является теорема о седловой точке, обобщающая теорему Куна-Таккера в конечномерном выпуклом программировании. С теоремой о седловой точке и ее обобщениями тесно связа на Пеория двойственности, которая изучает взаимозависимость пары задач бесконечномерного программирования - исходной задачи и некоторой другой, построенной специальным образом двойственной задачи (см.). Эта теория аналогична конечномер ной теории двойственности в мсипемсипическом программирова нии (см.), но она обладает рядом специфических особенностей, обусловленных бесконечной размерностью. Бесконечномерное программирование тесно связано с таки ми математическими дисциплинами, как теория приблилсений, теория бесконечных игр, математическая теория оптимальных процессов и динамическое программирование (см.). Методы, исполь зуемые в бесконечномерном программировании, - это методы функционального анализа, в первую очередь выпуклого анали за, изучающего общие свойства выпуклых функций и множеств в линейных пространствах. Из практических применений бесконечномерного програм мирования наибольшее распространение при моделировании процессов в социально-экономических системах получили непре- 11 рывные транспортные задачи (в том числе классическая задача Монжа о перемещении масс, исследованная акад. Л.В. Канторо вичем), динамические и стохастические модели экономики.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ» з дисципліни «Теорія систем і системний аналіз в управлінні організаціями»
