ДИПЛОМНІ КУРСОВІ РЕФЕРАТИ


ИЦ OSVITA-PLAZA

Реферати статті публікації

Пошук по сайту

 

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Теоретична фізика у 10 томах

Гофрировочная неустойчивость ударных волн
Соблюдение условий эволюционности само по себе необходи-
мо, но еще недостаточно для гарантирования устойчивости удар-
ной волны. Волна может оказаться неустойчивой по отношению
к возмущениям, характеризующимся периодичностью вдоль по-
верхности разрыва и представляющим собой как бы «рябь», или
«гофрировку», на этой поверхности (такого рода возмущения
§ 90 ГОФРИРОВОЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН 471
рассматривались уже в § 29 для тангенциальных разрывов) :) .
Покажем, каким образом исследуется этот вопрос для ударных
волн в произвольной среде (СП. Дьяков, 1954).
Пусть ударная волна покоится, занимая плоскость х = 0;
жидкость движется сквозь нее слева направо, в положительном
направлении оси х. Пусть поверхность разрыва испытывает воз-
мущение, при котором ее точки смещаются вдоль оси х на малую
величину
? = ?ое*(М-"*)? (90.1)
где ку — волновой вектор «ряби». Эта рябь на поверхности вызы-
вает возмущение течения позади ударной волны, в области х > 0
(течение же перед разрывом, х < 0, не испытывает возмущения
в силу своей сверхзвуковой скорости).
Произвольное возмущение течения складывается из энтро-
пийно-вихревой волны и звуковой волны (см. задачу к § 82). В
обоих зависимость величин от времени и координат дается мно-
жителем вида ехр [г(kr — cot)] с той же частотой со, что и в (90.1).
Из соображений симметрии очевидно, что волновой вектор к ле-
жит в плоскости ху] его у-компонента совпадает с ку в (90.1),
а ж-компонента различна для возмущений двух типов.
В энтропийно-вихревой волне kv2 = со, т. е. кх = со/1J (v2 —
невозмущенная скорость газа за разрывом). В этой волне возму-
щение давления отсутствует, возмущение удельного объема свя-
зано с возмущением энтропии, SV^3UT^ = (dV/ds)p Ss, а возмуще-
ние скорости подчинено условию
В звуковой волне в движущемся газе связь между часто-
той и волновым вектором дается равенством (со — kvJ = с2к2
(см.F8.1)); поэтому кх в этой волне определяется уравнением
(co-kxv2J = c2(k2x + k2y). (90.3)
Возмущения давления, удельного объема и скорости связаны со-
отношениями:
[ \ (90.4)
(и - «2Jfex)<JvCB) = V2\a^(зв)• (90.5)
Возмущение в целом представляется линейной комбинацией
возмущений обоих типов:
<fo = <fo(9HT)+&/9B), 8V = 8V^T) + 5V{m\ 5p = 8p{-m\ (90.6)
) Неустойчивость по отношению к таким возмущениям называют гофри-
ровочной (corrugation instability по английской терминологии).
472 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX
Оно должно удовлетворять определенным граничным условиям
на возмущенной поверхности разрыва.
Прежде всего, на этой поверхности должна быть
непрерывна тангенциальная к ней составляющая
скорости, а скачок нормальной составляющей дол-
жен выражаться через возмущенные давление и
плотность равенством (85.7). Эти условия записы-
ваются как
vi t = (v2 + 5v)t,
vm - (v2 + <*v)n = [(p2 - Pi + 8p){Vi -V2- 6V)}1/2,
где t и n — единичные векторы касательной и нор-
мали к поверхности разрыва (рис. 59). С точностью
до величин первого порядка малости компоненты
ис' этих векторов (в плоскости ху) равны t(ik(, 1) и
пA, — ikQ] выражение ikC^ возникает как производная д(^/ду. С
этой же точностью граничные условия для скорости принимают
вид
\^^\ (90.7)
2 — Pi vi —
Далее, возмущенные значения p2 + dp и V2 + SV2 должны
удовлетворять тому же уравнению адиабаты Гюгонио, что и не-
возмущенные р2 и V2- Отсюда получаем условие, связывающее
др и SV:
$р = *E1SV, (90.8)
(IV2
где производная берется вдоль адиабаты.
Наконец, еще одно соотношение возникает из связи между по-
током вещества через поверхность разрыва и скачками давления
и плотности на ней. Для невозмущенного разрыва это соотноше-
ние выражается формулой (85.6), а для возмущенного аналогич-
ное соотношение есть
i-(vm-unJ=
V!-V2-SV
где и — скорость точек поверхности разрыва. В первом прибли-
жении по малым величинам имеем un = —гоо(] разлагая напи-
санное равенство также и по степеням др и dV, получим
2^с = 8р + SV (909)
с + ^ (909)
Vl P2 - Pi Vl - V2
Равенства (90.2), (90.4), (90.5), (90.7)-(90.9) составляют си-
стему восьми линейных алгебраических уравнений для восьми
§ 90 ГОФРИРОВОЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН 473
величин ?, Sp, 8VCHT\ 6V^3B\ Svi^y •> Svx*y *) • Условие совмест-
ности этих уравнений (выражаемое равенством нулю определи-
теля их коэффициентов) имеет вид
— (ку + 4)-(— + kl) (" - v?ky)A + h) = 0. (90Л0)
vi \ Щ J \viv2 /
где для краткости введено обозначение h = j2\dtV2/'Ф2) •> aJ имеет
обычный смысл: j = v\/V\ = г^/Т^. Величину кх в (90.10) надо
понимать как функцию ку и о;, определяемую равенством (90.3).
Условие неустойчивости состоит в существовании возмуще-
ний, экспоненциально возрастающих со временем, причем они
должны экспоненциально убывать с удалением от поверхности
разрыва (т. е. при х —>> оо); последнее условие означает, что ис-
точником возмущения является сама ударная волна, а не какой-
то внешний по отношению к ней источник. Другими словами,
волна неустойчива, если уравнение (90.10) имеет решения, у ко-
торых
Imo; > 0, 1т?;ж>0. (90.11)
Исследование уравнения (90.10) на предмет выяснения усло-
вий существования таких решений довольно громоздко. Мы не
будем производить его здесь, ограничившись указанием оконча-
тельного результата 2) . Гофрировочная неустойчивость ударной
волны возникает, если
j2^ < -1, (90.12)
dp2
или
c2
напомним, что производная берется вдоль ударной адиабаты
(при заданных pi, Vi) 3) .
Условия (90.12), (90.13) отвечают наличию у уравнения (90.10)
комплексных корней, удовлетворяющих требованиям (90.11). Но
в определенных условиях это уравнение может иметь также и
1)Все эти равенства берутся при х = 0, и под перечисленными величи-
нами в них могут подразумеваться постоянные амплитуды, без переменных
экспоненциальных множителей.
2) Это исследование можно найти в оригинальной статье: Дьяков СП. //
ЖЭТФ. 1954. Т. 27. С. 288. В следующем параграфе будет приведено еще и
менее строгое, но более наглядное обоснование условий (90.12), (90.13).
3) Отметим, что при выводе (90.12), (90.13) используется только обяза-
тельное условие (88.1), но не используется неравенство р2 > р\. Поэтому эти
условия неустойчивости относятся и к ударным волнам разрежения, кото-
рые могли бы существовать при (d2V/dp2)s < 0.
474 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX
корни с вещественными ио и kx, отвечающие «уходящим» от раз-
рыва реальным незатухающим звуковым и энтропийным волнам,
т.е. спонтанному излучению звука поверхностью разрыва. Мы
будем говорить о такой ситуации как об особом виде неустойчи-
вости ударной волны, хотя неустойчивости в буквальном смысле
здесь нет, — раз созданное на поверхности разрыва возмущение
(рябь) неограниченно долго продолжает излучать волны, не за-
тухая и не усиливаясь при этом; энергия, уносимая излучаемыми
волнами, черпается из всей движущейся среды х) .
Для определения условий возникновения этого явления, пре-
образуем уравнение (90.10), введя угол в между к и осью х\ тогда
с2кх = с^о cos 6, с2ку = ooq sin#,
ш2=с2(к2 + к2) (9°Л4)
(ojq — частота звука в системе координат, движущейся вместе с
газом за ударной волной), и получаем квадратное относительно
cos в уравнение:
+ ij cos^ + [
1 + h V2 J C2 L 1 + h
+ 1 + а (дол5)
1 + h \ c| /
Скорость распространения звуковой волны в движущемся со ско-
ростью V2 газе, по отношению к неподвижной поверхности раз-
рыва, есть V2 + С2 cos в. Звуковая волна будет уходящей, если эта
сумма положительна, т. е. если
-v2/c2 <cos<9< I (90.16)
(значения cos в < 0 отвечают случаям, когда вектор к направ-
лен в сторону разрыва, но снос звуковой волны движущимся га-
зом делает ее все же «уходящей»). Спонтанное излучение звука
ударной волной возникает, если уравнение (90.15) имеет корень,
лежащий в этих пределах. Простое исследование приводит к сле-
дующим неравенствам, определяющим область этой неустойчи-
вости 2)
l-v2/c2-vlV2/c2
(нижний и верхний пределы здесь фактически отвечают ниж-
нему и верхнему пределам в условиях (90.16)). Область (90.17)
примыкает к области неустойчивости (90.13), расширяя ее.
1) Сравните с аналогичной ситуацией для тангенциальных разрывов —
задача 2 § 84.
) Эта неустойчивость тоже была указана СП. Дьяковым A954); правиль-
ное значение нижней границы в (90.17) найдено В.М. Конторовичем A957).
§ 90 ГОФРИРОВОЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН 475
К происхождению неустойчивости ударных волн в области
(90.17) можно подойти также и с несколько иной точки зрения,
рассмотрев отражение от поверхности разрыва звука, падающе-
го на нее со стороны сжатого газа. Поскольку ударная волна
движется относительно газа впереди нее со сверхзвуковой ско-
ростью, то в этот газ звук не проникает. В газе же позади вол-
ны будем иметь, наряду с падающей звуковой волной, еще и от-
раженную звуковую и энтропийно-вихревую волны (а на самой
поверхности разрыва возникает рябь). Задача об определении
коэффициента отражения по своей постановке близка к задаче
об исследовании устойчивости. Разница состоит в том, что на-
ряду с подлежащими определению амплитудами исходящих от
разрыва (отраженных) волн в граничных условиях фигуриру-
ет еще и заданная амплитуда приходящей (падающей) звуковой
волны. Вместо системы однородных алгебраических уравнений
мы будем иметь теперь систему неоднородных уравнений, в кото-
рых роль неоднородности играют члены с амплитудой падающей
волны. Решение этой системы дается выражениями, в знамена-
телях которых стоит определитель однородных уравнений, —как
раз тот, приравнивание которого нулю дает дисперсионное урав-
нение спонтанных возмущений (90.10). Тот факт, что в области
(90.17) это уравнение имеет вещественные корни для cos б, озна-
чает, что существуют определенные значения угла отражения (и
тем самым угла падения), при которых коэффициент отражения
становится бесконечным. Это — другая формулировка возможно-
сти спонтанного излучения звука, т. е. излучения без падающей
извне звуковой волны.
То же самое относится и к коэффициенту прохождения зву-
ка, падающего на поверхность разрыва спереди, навстречу ей. В
этом случае не существует отраженной волны, а позади поверх-
ности разрыва возникают прошедшие звуковая и энтропийно-
вихревая волны. В области (90.17) возможно обращение коэф-
фициента прохождения в бесконечность :) .
Скажем несколько слов о некоторых возможных, в принци-
пе, типах ударных адиабат, содержащих области рассмотренных
неустойчивостей 2) .
1) Вычисление коэффициентов отражения и прохождения звука на удар-
ной волне при произвольных направлениях падения в произвольных сре-
дах см.: Дьяков СП. II ЖЭТФ. 1957. Т. 33. С. 948, 962; Конторо-
вич В.М. II ЖЭТФ. 1957. Т. 33. С. 1527; Акустический журнал. 1959. Т. 5.
С. 314.
2)В политропном газе h = — (ci/^iJ, в чем легко убедиться с помощью
полученных в § 89 формул. Ни одно из условий (90.12), (90.13) и (90.17) при
этом заведомо не выполняется, так что ударная волна устойчива. Устойчи-
вы, конечно, также и ударные волны слабой интенсивности в произвольной
среде.
476
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
ГЛ. IX
Условие (90.12) требует отрицательной производной
причем ударная адиабата должна быть наклонена (к оси аб-
сцисс) в точке 2 менее круто, чем проведенная в нее хорда 12
(т. е. обратно тому, что имеет место в обычных случаях — рис. 53).
Для этого адиабата должна перегнуться, как показано на рис. 60;
условие неустойчивости (90.12) выполняется на участке ab.
Рис. 60
Рис. 61
Условие (90.13) требует положительности производной
dp2/dV2-) причем наклон адиабаты должен быть достаточно мал.
На рис. 60 это условие выполняется на определенных отрезках
адиабаты, непосредственно примыкающих к точкам а и b и рас-
ширяющих, таким образом, область неустойчивости. Условие
(90.13) может оказаться выполненным и на участке (cd на рис. 61)
адиабаты, не содержащей участка типа ab.
Условие (90.17) еще менее жестко, чем (90.13) и еще допол-
нительно расширяет область неустойчивости на адиабатах Гю-
гонио с dp2/dV2 > 0. Более того, нижний предел в (90.17) может
быть отрицательным, так что неустойчивость этого типа может,
в принципе, иметь место и в некоторых участках адиабат обыч-
ного вида, со всюду отрицательной производной dp2/dV2.
Вопрос о судьбе гофрировочно-неустойчивых ударных волн
тесно связан со следующим замечательным обстоятельством: при
выполнении условий (90.12) или (90.13) решение гидродинамиче-
ских уравнений оказывается неоднозначным (C.S. Gardner,
1963). Для двух состояний среды, 1 и2, связанных друг с дру-
гом соотношениями (85.1)—(85.3), ударная волна является обыч-
но единственным решением задачи (одномерной) о течении, пе-
реводящем среду из состояния 1 в 2. Оказывается, что если в
состоянии 2 выполнены условия (90.12) или (90.13), то решение
указанной гидродинамической задачи не однозначно: переход из
состояния 1 в 2 может быть осуществлен не только в ударной
волне, но и через более сложную систему волн. Это второе ре-
шение (его можно назвать распадным) состоит из ударной вол-
ны меньшей интенсивности, следующего за ней контактного раз-
рыва и из изэнтропической нестационарной волны разрежения
§ 90 ГОФРИРОВОЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН 477
(см. ниже § 99), распространяющейся (относительно газа поза-
ди ударной волны) в противоположном направлении; в ударной
волне энтропия увеличивается от «si до некоторого значения 53 <
< 52, а дальнейшее увеличение от 53 до заданного 52 происходит
скачком в контактном разрыве (эта картина относится к типу,
изображенному ниже на рис. 78 б] предполагается выполненным
неравенство (86.2)) г).
Вопрос о том, чем определяется отбор одного из двух реше-
ний в конкретных гидродинамических задачах, не ясен. Если от-
бирается распадное решение, то это означало бы, что неустой-
чивость ударной волны с самопроизвольным усилением поверх-
ностной ряби вообще не осуществляется. По-видимому, однако,
такой отбор не может быть связан именно с этой неустойчиво-
стью, поскольку неоднозначность решения не ограничена усло-
виями (90.12), (90.13) 2).

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Гофрировочная неустойчивость ударных волн» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»

Заказать диплом курсовую реферат
Реферати та публікації на інші теми: Цифрові системи передачі даних
Подвоєння та подовження приголосних
РЕГУЛЮВАННЯ ВЗАЄМОДІЇ УЧАСНИКІВ ІНВЕСТУВАННЯ
Аудит розрахунків з акціонерами
ГРОШОВО-КРЕДИТНА ПОЛІТИКА, ЇЇ ЦІЛІ ТА ІНСТРУМЕНТИ


Категорія: Теоретична фізика у 10 томах | Додав: koljan (30.11.2013)
Переглядів: 444 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]

Онлайн замовлення

Заказать диплом курсовую реферат

Інші проекти




Діяльність здійснюється на основі свідоцтва про держреєстрацію ФОП