Производственная функция (ПФ) выражает зависимость результата производства от затрат ресурсов. При описании экономики (точнее, ее производственной подсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рассматривается как «черный ящик», на вход которого поступают ресурсы R1, ..., Rn, а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции Х1, ..., Хm .
В качестве ресурсов (факторов производства) на макроуровне наи- более часто рассматриваются накопленный труд в форме производст- венных фондов (капитал) К и настоящий (живой) труд L, а в качестве результата – валовой выпуск Х (либо валовой внутренний продукт Y, либо национальный доход N ). Во всех случаях результат коротко будем называть выпуском и обозначать X, хотя это может быть и валовой выпуск, и ВВП, и национальный доход. Остановимся несколько подробнее на обосновании состава фактора К.. Накопленный прошлый труд проявляется в основных и оборотных, производственных и непроизводственных фондах. Выбор того или иного состава K определяется целью исследования, а также характером развития производственной и непроизводственной сфер в изучаемый период. Если в этот период в непроизводственную сферу вкладывается примерно постоянная доля вновь созданной стоимости и непроизводственная сфера оказывает на производство примерно одинаковое влияние, это служит основанием напрямую учитывать в ПФ только производственные фонды. Но производственные фонды состоят из основных и оборотных производственных фондов. Если соотношение между этими составными частями производственных фондов примерно постоянное в течение всего изучаемого периода, то достаточно напрямую учитывать в ПФ только основные производственные фонды. Если изучаемый период достаточно продолжителен и однороден по влиянию на производство указанных выше составных частей, следует испробовать все варианты включения их в модель (от всех
31 вместе до какого-то одного из них). Чтобы не вдаваться в детали, далее будем К называть фондами. Таким образом, экономика замещается своей моделью в форме нелинейной ПФ Х= F(K, L), т.е. выпуск (продукции) есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда). Производственная функция Х=F(K,L) называется неоклассической, если она является гладкой и удовлетворяет следующим условиям, поддающимся естественной экономической интерпретации: 1) F( 0 , L) = F(K, 0) = 0 - при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно; 2) 0> ∂ ∂ L F ,0> ∂ ∂ K F
- с ростом ресурсов выпуск растет; 3)
02 2 < ∂ ∂ L F ,
02 2 < ∂ ∂ K F
- с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется; 4) F (+∞, L) = F(K, +∞) = +∞ - при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет. Мультипликативная ПФ задается выражением 21 aaLAKX =,
a 1>0, a 2>0, где А – коэффициент нейтрального технического прогресса; а 1, a 2 – коэффициенты эластичности по капиталу и труду. Таким образом, мультипликативная ПФ обладает свойством 1, адекватным реальной экономике: при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно. Частным случаем этой функции служит функция Кобба-Дугласа aaLAKX −=1 , где a 1= a , a 2=1 – a.
Мультипликативная ПФ определяется по временному ряду выпусков и затрат ресурсов (Хt, Кt,
Lt ,), t= 1, ..., Т, где T – длина временного ряда, при этом предполагается, что имеет место Т
соотношений 21 a t a ttLAKX δ=, где δt — корректировочный случайный коэффициент, который приво- дит в соответствие фактический и расчетный выпуск и отражает флюк- туацию результата под воздействием других факторов, М δ t = 1. Поскольку в логарифмах эта функция линейна:
32 ln Хt = ln A + atln Kt+ a2ln Lt + εt, где εt = ln δt, М ε t= 0, получаем модель линейной множественной регрессии. Параметры функции А,
a 1, a 2 определяются методами корреляционно- регрессионного анализа, рассматриваемого в дисциплине «Эконометрика». В качестве примера приведем мультипликативную функцию валового выпуска Российской Федерации (млрд. руб.) в зависимости от стоимости основных производственных фондов (млрд. руб.) и числа занятых в народном хозяйстве (млн. чел.) по данным за 1960-1994 гг. (все стоимостные показатели даны в сопоставимых ценах для этого периода): X=0,931K0,539L0,594 Мультипликативная функция обладает также свойством 2, адекватным реальной экономике: с ростом затрат ресурсов выпуск увеличивается, т.е. 0 11 121>== ∂ ∂− K Xa LAKa K Faa , так как a 1 >0. 021221>== ∂ ∂− L Xa LAKa L Faa , так как a 2>0. Частные производные выпуска по факторам называются предельными продуктами или предельными (маржинальными) эффективностями факторов и представляют собой прирост выпуска на малую единицу прироста фактора: K F ∂ ∂ – предельный продукт фондов, предельная фондоотдача (предельная эффективность фондов); L F ∂ ∂ – предельный продукт труда, предельная производительность (предельная эффективность труда). Для мультипликативной функции вытекает, что предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче K X с коэффициентом a 1 , а предельная производительность труда – средней производительности труда L X с коэффициентом а 2: K X a K X 1=∂ ∂, L X a L X 2=∂ ∂. Из чего вытекает, что при а 1 < 1, a 2 < 1 предельные отдачи факторов меньше средних; при этих же условиях мультипликативная функции обладает свойством 3, которое очень часто наблюдается в
33 реальной экономике: с ростом затрат ресурса его предельная отдача падает, т.е. 0)1()1(2112112 2 21<−=−= ∂ ∂− K X aaLAKaa K Xaa , так как а 1<1; 0)1()1(2222222 2 21<−=−= ∂ ∂− L X aaLAKaa L Xaa , так как а 2<1. Из 21 aaLAKX = также видно, что мультипликативная функция обладает свойством 4 , т.е. при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет. Таким образом, мультипликативная функция при 0 < а 1 < 1, 0< а 2 < 1 является неоклассической. Перейдем теперь к экономической интерпретации параметров А,
а 1, а 2 мультипликативной ПФ. Параметр А обычно интерпретируется как параметр нейтрального технического прогресса: при тех же а 1, а 2 выпуск в точке ( К, L) тем больше, чем больше А. Для интерпретации а 1, а 2 необходимо вспомнить понятие эластичности, рассмотренное в 1.1.2. Получаем а 1 – эластичность выпуска по основным фондам, а a 2 –
эластичность выпуска по труду. Например, согласно ПФ X=0,931K0,539L0,594 при увеличении основных фондов (ОФ) на 1% валовой выпуск повысится на 0,539%, а при увеличении занятых на 1% – на 0,594%. Если а 1 > a 2 имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, в противном случае –
фондосберегающчй (экстенсивный) рост. Рассмотрим темп роста выпуска 21 111 a t t a t t t t L L K K X X ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =+++. Если возвести обе части уравнения в степень 21 1 aa + , получим соотношение a t t a t taa t t L L K K X X − ++++ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 11 1 121, в котором справа – взвешенное среднее геометрическое темпов роста затрат ресурсов, при этом в качестве весов выступают относительные эластичности факторов 21 1 aa a a + = , 21 21 aa a a + =−. При а 1+ а 2 > 1 выпуск растет быстрее, чем в среднем растут факторы, а при а 1+ а 2 < 1 – медленнее. В самом деле, если факторы
34 растут (т.е. Kt+1>Kt, Lt+1>Lt) то согласно 21 111 a t t a t t t t L L K K X X ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =+++ растет и выпуск (т.е. Xt+1>Xt ) ,
следовательно, при а 1+ а 2 > 1 a t t a t taa t t t t L L K K X X X X − +++++ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ > 1 11 1 1121, т.е. действительно, темп роста выпуска больше среднего темпа роста факторов. Таким образом, при а 1+ а 2 >1 ПФ описывает растущую экономику. Линией уровня на плоскости К, L, или изоквантой, называется множество тех точек плоскости, для которых F(K, L)=Х0= const. Для мультипликативной ПФ изокванта имеет вид: constXLAKaa ==021 или 210 aaL A X K −=, т.е. является степенной гиперболой, асимптотами которой служат оси координат. Для разных К, L , лежащих на конкретной изокванте, выпуск равен одному и тому же значению X0, что эквивалентно утверждению о взаимозаменяемости ресурсов. Поскольку на изокванте F(K, L) = Х0 = const, то 0= ∂ ∂+ ∂ ∂= dL L FdK K FdF . В этом соотношении 0> ∂ ∂ K F , 0> ∂ ∂ L F , поэтому dK и dL имеют разные знаки: если dL <0, что означает сокращение объема труда, то dK >0, т.е. выбывший в объеме dL труд замещается фондами в объеме dK . Поэтому естественно следующее определение, вытекающее из 0= ∂ ∂ + ∂ ∂ = dL L F dK K F dF . Предельной нормой замены SK труда фондами называется отношение модулей дифференциалов ОФ и труда: KF LF dL dK dL dK Sk ∂∂ ∂∂ =−== / / , соответственно, предельная норма замены SL фондов трудом LF KF dK dL SK ∂∂ ∂∂ =−= / /, при этом S k SL=1. Для мультипликативной функции норма замещения труда фондами пропорциональна фондовооруженности: k a a L K a a SK 1 2 1 2== , L K k =,
35 что совершенно естественно: недостаток труда можно компенсировать его лучшей фондовооруженностью. Изоклиналями называются линии наибольшего роста ПФ. Изоклинали ортогональны линиям нулевого роста, т.е. изоквантам. Поскольку направление наибольшего роста в каждой точке (К, L)
задается градиентом grad⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = L F K F F ;, то уравнение изоклинали записывается в форме ()() LF dL KF dK ∂∂ = ∂∂// . В частности, для мультипликативной ПФ получаем,
L X a L F K X a K F 21;=∂ ∂= ∂ ∂ , поэтому изоклиналь задается дифференциальным уравнением LdL a KdK a 21 11 =, которое имеет решение aL a a K +=2 2 1, 2 0 2 12 0 L a a Ka −=, где ( L0 ; К0 ) – координаты точки, через которую проходит изоклиналь. Наиболее простая изоклиналь при а = 0 представляет собой прямую 2 1 a a LK =. На рис. 1.2.1 изображены изокванты и изоклинали мультипликативной ПФ.
Рис. 1.2.1 При изучении факторов роста экономики выделяют экстенсивные факторы роста (за счет увеличения затрат ресурсов, т.е. увеличения масштаба производства) и интенсивные факторы роста (за счет повы- шения эффективности использования ресурсов). Возникает вопрос: как с помощью ПФ выразить масштаб и эффективность производства ? Это сравнительно легко сделать, если выпуск и затраты выражены в соизмеримых единицах, например
36 представлены в соизмеримой стоимостной форме. Однако проблема соизмерения настоящего и прошлого труда до сих пор не решена удовлетворительным образом. Поэтому воспользуемся переходом к относительным (безразмерным) показателям. В относительных показателях мультипликативная ПФ записывается следующим образом: 21 000 aa L L K K X X ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =, т.е. X0, K0 L0 — значения выпуска и затрат фондов и труда в базовый год. Безразмерная форма, указанная выше, легко приводится к первоначальному виду 2121 2100 0 aaaa aaLAKLKLK X X ==. Таким образом, коэффициент 21 00 0 aaLK X A = получает естественную интерпретацию – это коэффициент, который соизмеряет ресурсы с выпуском. Если обозначить выпуск и ресурсы в относительных (безразмерных) единицах измерения через x , k, l, то ПФ в форме 21 000 aa L L K K X X ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = запишется так: 21 aalkx =. Найдем теперь эффективность экономики, представленной ПФ. Напомним, что эффективность – это отношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов k и настоящего труда l. Поэтому имеются два частных показателя эффективности: k x
– фондоотдача, l x
– производительность труда. Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них. Так как ПФ выражена в мультипликативной форме, то и среднее естественно взять в такой же форме, т.е. среднегеометрическое значение. Итак, обобщенный показатель экономической эффективности есть взвешенное среднее геометрическое частных показателей экономичес- кой эффективности: aa l x k x E − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= 1 ,
37 в котором роль весов выполняют относительные эластичности 21 1 aa a a + =, 21 21 aa a a + =−, т.е. частные эффективности участвуют в образовании обобщенной эффективности с такими же приоритетами, с какими входят в ПФ соответствующие ресурсы. Из aa l x k x E − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= 1 вытекает, что с помощью коэффициента экономической эффективности ПФ преобразуется в форму, внешне совпадающую с функцией Кобба-Дугласа: х=Eka l1-a , где Е – не постоянный коэффициент, а функция от (К, L). Поскольку масштаб производства М проявляется в объеме затраченных ресурсов, то по тем же соображениям, которые были приведены при расчете обобщенного показателя экономической эффективности, средний размер использованных ресурсов (т.е. масштаб производства) M=kal1-a . В результате получаем, что выпуск Х есть произведение экономической эффективности и масштаба производства: Х=ЕМ. Линейная производственная функция X=F(K,L)=EKK+ELL, где EK и EL частные эффективности ресурсов. EK = k x
– фондоотдача , EL = l x
– производитель труда. Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них. Пример 1.2.1. Валовой внутренний продукт США (Х), измеренный в млрд. долл. в ценах 1987г. возрос с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза, основные производственные фонды за этот же период (К) увеличились в 2,88 раза, число занятых (L) – в 1,93 раза. Пусть X=2,248K0,404L0,803. Необходимо рассчитать масштаб и эффективность производства. Решение. Из условия x = 2,82; k =2,88; l =1,93. Сначала находим относительные эластичности по фондам и труду 3347,0 803,0404,0 404,0 21 1= + = + = aa a a . Затем определяем частные эффективности ресурсов 98,0 88,2 82,2 === k x EK,
38 46,1 93,1 82,2 === l x EL, после чего находим обобщенный показатель эффективности как среднее геометрическое частных: 278,146,1*98,06653,03347,01===− a L a KEEE . Масштаб устанавливаем как среднее геометрическое темпов роста ресурсов 207,293,1*88,26653,03347,01===− aalkM . Таким образом, общий рост ВВП с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза произошел за счет роста масштаба производства в 2,207 раза и за счет повышении эффективности производства в 1,278 раза (2,82=1,278*2,207).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ» з дисципліни «Математична економіка»
