ДИПЛОМНІ КУРСОВІ РЕФЕРАТИ


ИЦ OSVITA-PLAZA

Реферати статті публікації

Пошук по сайту

 

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Теоретична фізика у 10 томах

Неприводимые представления точечных групп
Перейдем теперь к конкретному определению неприводимых
представлений точечных групп. Огромное большинство молекул
обладает лишь осями симметрии второго, третьего, четвертого и
шестого порядков. Поэтому мы не будем рассматривать группы
икосаэдра Y,Yh\ группы Cn, Cnh, Cnv, Dn, Dnh будем рас-
сматривать лишь со значениями п=1, 2, 3, 4, 6, а группы S2m
Dnd-cn = l, 2, 3.
Характеры представлений этих групп даны в табл. 7. Изо-
морфные группы имеют одинаковые представления и приводят-
ся вместе в одной таблице. Числа перед символами элементов
группы в первых строках указывают числа элементов в соответ-
ствующих классах (см. §93). В первых столбцах указаны при-
нятые условные обозначения представлений. Одномерные пред-
ставления обозначаются буквами Л, В, двумерные—буквой Е,
а трехмерные — F (обозначение Е для двумерного неприводи-
мого представления не смешивать с обозначением Е для еди-
ничного элемента группы!I). Функции базисов представлений
А симметричны, а функции В — антисимметричны по отноше-
нию к поворотам вокруг главной оси n-го порядка. Функции
различной симметрии по отношению к отражению а^ отлича-
ются количеством штрихов (один или два), а индексы g и и
указывают на симметрию по отношению к инверсии. Вместе с
обозначениями представлений буквами ж, у, z указано по како-
му представлению преобразуются сами координаты; ось z везде
выбрана вдоль главной оси симметрии. Буквы е и ио обозначают:
е = е2-/3, и = в2-/6 = -с4,
Наиболее просто определение неприводимых представлений
для циклических групп (группы Cn, Sn). Циклическая группа,
как и всякая абелева группа, имеет лишь одномерные представ-
ления. Пусть G—производящий элемент группы (т.е. элемент,
возведение которого в последовательные степени дает все эле-
менты группы). Поскольку Gg = E (g — порядок группы), то
1) Причина, по которой два комплексно сопряженных одномерных пред-
ставления обозначаются как одно двумерное, выяснится в § 96.
460
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ
ГЛ. XII
Таблица 7
Характеры неприводимых представлений точечных групп
Ci
Ag
Au\ x; y\ z
c2
A-z
В] х\ у
Cs
A';x;y
A";z
E
E
E
1
1
c2
a
-1
-1
Cs
A;z
E' x ± iy <
I
E
1
1
1
C3
1
e2
C2
1
s2
?
c2h
Ag
Bg
Ащ z
Bu',x;y
C2v
Av,z
B2',y
A2
Вг;х
D2
A
Bs\x
B\\z
B2\y
E
E
E
1
1
1
1
c2
c2
Cl
1
-1
1
-1
<Th
crv
ci
1
-1
-1
1
/
ci
1
1
-1
-1
Czv
A\\ z
A2
E\x,y
D3
Аг
A2;z
E-x,y
E
E
1
1
2
2C3
2C3
1
1
-1
Зсгу
SU2
1
-1
0
c4
A;z
В
E;x±iy
Si
A
B;z (
E;x±iyl
l
E
E
1
1
1
1
c4
Si
1
-1
i
—i
c2
c2
1
1
-1
-1
o4
q3
o4
1
-1
—i
i
C6
A;z
В
(
Ег <
f
E2',x±iy I
E
1
1
1
1
1
1
C6
1
-1
uj2
— UJ
UJ
-uj2
Cs
1
1
— UJ
uj2
uj2
— UJ
c2
1
-1
1
1
-1
-1
C2
1
1
uj2
— UJ
— UJ
uj2
ci
1
-1
— UJ
uj2
-co2
UJ
C^v
A^z
A2
Вг
в2
E;x,y
Аг
A2;z
Вг
в2
E;x,y
D2d
Аг
A2
Вг
B2;z
E;x,y
E
E
E
1
1
1
1
2
c2
c2
c2
1
1
1
1
-2
2C4
2C4
254
1
1
-1
-1
0
2av
2U2
2U2
1
-1
1
-1
0
2a'v
2U'2
2crd
1
-1
-1
1
0
$95
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП
461
Таблица 7 (продолжение)
Аг
A2;z
Вг
в2
Е2
Ei',x,y
C6v
Av,z
А2
в2
Вг
Е2
Ei\x,y
Т
А
тр )
F;x,y,z
Е ЗС2
1 1
1 1
1 1
3 -1
Dsh
А[
А'2
А'1
A'2'\z
Е'\х,у
Е"
4С3 4С32
1 1
? S2
е2 е
0 0
Е
Е
Е
1
1
1
1
2
2
О
Аг
А2
Е
F2
Fi',x,i
с2
с2
(УК
1
1
-1
-1
2
-2
Td
Аг
А2
Е
F2;x
2С3
2С3
2С3
1
1
1
1
-1
-1
Е
Е
1
1
2
3
3
2С6
2С6
253
1
1
-1
-1
-1
1
8С3
8С3
1
1
-1
0
0
3?/2
3<
зи2
ЗС2
ЗС2
1
1
2
-1
-1
1
-1
1
-1
0
0
6С2
Qo-d
1
-1
0
1
-1
ЗЩ
За[,
3av
1
-1
-1
1
0
0
6С4
6S4
1
-1
0
-1
1
ясно, что при воздействии оператора G на функцию базиса
последняя может умножиться только на yl, т. е.г)
Группа C2h (и изоморфные с ней Civ и -D2) абелева, так что
все ее неприводимые представления тоже одномерны, причем ха-
рактеры могут быть равны только ±1 (так как квадрат каждого
элемента есть Е).
Далее, рассмотрим группу C^v. По сравнению с группой Сз
здесь прибавляются отражения av в вертикальных плоскостях
(относящиеся все к одному классу). Функция, инвариантная по
отношению к повороту вокруг оси (функция базиса представ-
ления А группы Сз), может быть симметричной или антисим-
метричной по отношению к отражениям av. Функции же, умно-
жающиеся при повороте Сз на е и е1 (функции базисов комплекс-
но сопряженных представлений Е\ при отражении переходят
друг в друга2). Из этих рассуждений следует, что группа C%v
(и изоморфная с ней D^) имеет два одномерных и одно двумер-
ное неприводимое представление с характерами, указанными в
г) Для точечной группы Сп в качестве функций ф молено, например, вы-
брать функции ф = elkif (к = 1,2,..., п), где <р — угол поворота вокруг оси,
отсчитываемый от некоторого определенного направления,
2) Эти функции можно взять, например, в виде ф\ = e%Lf>, Ф2 = е~г(р. При
отражении в вертикальной плоскости (р меняет знак.
462 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII
таблице. В том, что мы действительно нашли все неприводимые
представления, можно убедиться, из того, что сумма I2 + I2 +
+ 22 = 6, т. е. равна порядку группы.
Аналогичными рассуждениями находятся характеры пред-
ставлений других групп такого же типа (С^, Cqv).
Группа Т получается из группы D2 = V добавлением пово-
ротов вокруг четырех наклонных осей третьего порядка. Функ-
ция, инвариантная по отношению к преобразованиям группы V
(базис представления Л), может умножаться при повороте С%
на 1, е или е2. Функции же базиса трех одномерных представ-
лений Si, B2, S3 группы V при поворотах вокруг осей третьего
порядка переходят друг в друга (что видно, если взять, напри-
мер, в качестве этих функций сами координаты ж, у, z). Таким
образом, получаем три одномерных и одно трехмерное неприво-
димое представление A2 + 12 + 12 + 32 = 12).
Наконец, рассмотрим изоморфные группы О и Т^. Груп-
па Td получается из группы Т добавлением отражений а^ в
плоскостях, каждая из которых проходит через две оси тре-
тьего порядка. Функция базиса единичного представления А
группы Т может быть симметричной или антисимметричной
по отношению к этим отражениям (относящимся все к одному
классу), что дает два одномерных представления группы Т^.
Функции, умножающиеся на е или е2 при повороте вокруг оси
третьего порядка (базис комплексно сопряженных представле-
ний Е группы Т), при отражении в плоскости, проходящей че-
рез эту ось, переходят друг в друга, так что получается одно
двумерное представление.
Наконец, из трех функций базиса представления F группы
Т одна преобразуется при отражении сама через себя (причем
может остаться неизменной или изменить знак), а две другие —
переходят друг в друга. Таким образом, получаем всего два од-
номерных, одно двумерное и два трехмерных представления1).
Что касается остальных интересующих нас точечных групп,
то их представления можно получить непосредственно из уже
выписанных, если заметить, что эти группы являются прямы-
ми произведениями рассмотренных уже групп на группу С{
(или Сs). Именно,
= C6 x d, Se = C3x d, Th = Tx
) Упомянем, что неприводимые представления большей размерности D-й
и 5-й) имеются в группах икосаэдра.
5 96
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕРМОВ
463
Каждое из этих прямых произведений имеет вдвое больше
неприводимых представлений, чем исходная группа, причем по-
ловина из них симметрична (обозначаются индексом g), а дру-
гая половина антисимметрична (индекс и) по отношению к ин-
версии.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неприводимые представления точечных групп» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»

Заказать диплом курсовую реферат
Реферати та публікації на інші теми: ТЕНДЕРНІ УГОДИ
Орфографія, морфологічний та фонетичний принцип правопису
МОНІТОРИНГ ІНВЕСТИЦІЙНОГО ПРОЦЕСУ
АУДИТОРСЬКИЙ ЗВІТ ТА ВИСНОВОК
Формування власного капіталу банку


Категорія: Теоретична фізика у 10 томах | Додав: koljan (26.11.2013)
Переглядів: 696 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]

Онлайн замовлення

Заказать диплом курсовую реферат

Інші проекти




Діяльність здійснюється на основі свідоцтва про держреєстрацію ФОП