Применение основной задачи линейного программирования к решению некоторых экономических задач
Линейное программирование возникло из практических потребностей, поэтому оно находит применение при решении широкого класса различных практических, в частности, экономических задач. Рассмотрим постановку и решение некоторых из них.
107 1. Задача использования ресурсов. Предприятие имеет m видов ресурсов, количество которых соответственно равно bi, (i = 1,…,m) единиц, из которых производится n видов продукции. Предприятие может обеспечить выпуск продукции j-го вида в количестве не более dj (j = 1,…,n) единиц. Для производства единицы j-й продукции необходимо aij единиц i-го ресурса. При реализации единицы j-й продукции прибыль составляет cj единиц. Необходимо составить план выпуска продукции, который обеспечивал бы получение максимальной прибыли при реализации всей выпущенной продукции. Если обозначить через хj (j=1,…,n) количество единиц j-й продукции, которое необходимо выпустить, то поставленная задача имеет следующую математическую модель. Найти максимальное значение линейной функции F = ∑ = nj ,1 (cj•xj) при ограничениях ∑ = nj ,1 (aij•xj) ≤ bi, i = 1,…, m (2.2.13) 0 ≤ xj ≤ dj, j = 1,…, n 2. Задача оптимального использования удобрений. Пусть для выращивания некоторой культуры применяется m видов удобрений, соответственно, в количестве bi, (i = 1,…, m) единиц. Вся посевная площадь разбита из n почвенно-климатических зон, каждая по dj, (j = 1,…,n) единиц. Пусть аij – количество i-го удобрения, вносимого на единицу площади j-й зоны, а cj – повышение средней урожайности, получаемой с единицы площади j-й зоны. Составить такой план распределения удобрений между посевными зонами, который обеспечивал бы максимальный суммарный прирост урожайности культуры. Обозначим через хj (j = 1,…, n) площадь j-й зоны, которую необходимо удобрить; тогда математическая модель поставленной задачи имеет вид (2.2.13). 3. Задача составления диеты. Дневная диета должна содержать m видов различных питательных веществ, соответственно, в количестве не менее bi (i = 1,…, m) единиц. Имеется n различных продуктов в количестве dj (j=1,…, n) единиц. Пусть аij – количество единиц i-го питательного вещества, содержащегося в единице j-го продукта; cj – стоимость единицы j-го продукта. Определить, какие продукты и в каком количестве необходимо включить в диету, чтобы она удовлетворяла минимальной дневной
108 потребности в каждом питательном веществе при наименьшей общей стоимости используемых продуктов. Обозначим через хj (j = 1,…, n) количество единиц j-го продукта в диете; тогда задача имеет следующую математическую модель. Найти минимальное значение линейной функции F = ∑ = nj ,1 (cj•xj) при ограничениях ∑ = nj ,1 (aij•xj) ≥ bi, i = 1,…, m (2.2.14) 0 ≤ xj ≤ dj, j = 1,…, n К этому виду задач относятся также задачи составления дневного рациона, задачи на составление смесей, а также некоторые задачи планирования производства. 4. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования) Предприятию задан план производства m видов продукции по времени и номенклатуре: требуется за время Т выпустить bi (i=1,…,m) единиц продукции каждого типа. Продукция производится на станках n типов. Для каждого станка известны производительность aij (то есть, количество продукции j-го вида, которое можно произвести на станке i-го типа) и затраты cij на изготовление продукции j-го вида на станке i-го типа в единицу времени. Необходимо составить такой план работы станков (т.е. так распределить выпуск продукции между станками), чтобы затраты на производство всей продукции были минимальными. Обозначим xij – время, в течение которого станок i-го типа будет занят изготовлением продукции j-го вида (i = 1,…, m; j = 1,…, n). Затраты на производство всей продукции выразятся функцией F = ∑ = nj ,1 ∑ = mi ,1 cij ּ◌xij, которую нужно минимизировать. Для выполнения плана выпуска по номенклатуре необходимо, чтобы выполнялись следующие равенства: ∑ = nj ,1 aij ּ◌xij = bi (i=1,…, n). Кроме того, xij ≥ 0 (i = 1,…,m; j = 1,…, n). Так как время работы каждого станка ограничено и не превышает Т, то система ограничений может быть дополнена неравенствами: ∑ = nj ,1 xij ≤ T (i = 1,…, n). 5. Задача о раскрое материалов. На раскрой (распил, обработку) поступает материал одного образца в количестве A единиц. Требуется изготовить из него m
109 разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональных числам bi (i = 1,…, m) – условие комплектности. Каждая единица материала может быть раскроена n различными способами, причем использование j-го способа (j = 1,…, n) дает aij единиц i-го изделия (i = 1,…, m). Необходимо найти план раскроя, обеспечивающее максимальное количество комплектов. Обозначим xj – число единиц материала, раскраиваемых j-ым способом, x – число изготавливаемых комплектов изделий. Так как общее количество материала равно сумме его единиц, раскраиваемых различными способами, то ∑ = nj ,1 xj = A. Требование комплектности выразится уравнениями ∑ = nj ,1 xj ּ◌aij = bi ּ◌x (i = 1,…, m) Кроме того xj ≥ 0 (j = 1,…, n).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Применение основной задачи линейного программирования к решению некоторых экономических задач» з дисципліни «Математична економіка»
