Установление равновесной степени ионизации в частично ио- низованном газе осуществляется путем различных элементарных актов столкновительной ионизации и обратной рекомбинации сталкивающихся заряженных частиц. В простейшем случае, ко- гда в газе имеется (помимо электронов) лишь один сорт ионов, процесс установления ионизационного равновесия описывается уравнением вида ^г = /3- aNeNi. B4.1) at Здесь /3 — число электронов, образующихся в 1 с в 1 см3 (при столкновениях нейтральных атомов или путем ионизации ато- мов фотонами); это число не зависит от наличных плотностей электронов Ne и ионов Л^. Второй же член дает убыль числа электронов благодаря их рекомбинации с ионами; величину а называют коэффициентом рекомбинации. Процесс рекомбинации обычно весьма медлен по сравнению с остальными процессами установления равновесия в плазме. Де- ло в том, что образование нейтрального атома при столкнове- нии иона с электроном требует уноса освобождающейся энергии (энергии связи электрона в атоме). Эта энергия может излучить- ся в виде фотона (радиационная рекомбинация); в таком случае 132 ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЛ. II медленность процесса связана с малостью квантовоэлектроди- намической вероятности излучения. Освобождающаяся энергия может быть также передана третьей частице — нейтральному атому; в этом случае медленность процесса связана с малой ве- роятностью тройных столкновений. Все это приводит к тому, что рекомбинацию часто имеет смысл изучать в условиях, когда рас- пределение всех частиц можно считать максвелловским. В равновесии производная dNe/dt обращается в нуль. Отсю- да следует, что величины а и /3 в B4.1) связаны друг с другом соотношением /3 = aNOeNoi, B4.2) где Nqg и Noi — равновесные плотности электронов и ионов, опре- деляющиеся соответствующими термодинамическими формула- ми (см. V, § 104) х). Коэффициент радиационной рекомбинации вычисляется непосредственно по сечению рекомбинации арек при столкнове- нии электрона с неподвижным ионом (скоростью иона можно пренебречь по сравнению со скоростью электрона): а= (^еСГрек), B4.3) где усреднение производится по максвелловскому распределе- нию скоростей электрона ve (см. задачу 1). Радиационная рекомбинация существенна, однако, лишь в достаточно разреженном газе, когда тройными столкновения- ми частиц можно вовсе пренебречь. В менее разреженном газе основным механизмом является рекомбинация с участием тре- тьей частицы — нейтрального атома. Именно этот механизм мы и рассмотрим теперь подробнее. При столкновении с атомами энергия электрона изменяется малыми порциями. Поэтому процесс рекомбинации начинается с образования сильно возбужденного атома, а при дальнейших столкновениях этого атома происходит постепенное «опускание» электрона на все более низкие уровни. Такой характер процесса позволяет рассматривать его как «диффузию по энергии» захва- ченного электрона и соответственно применить к нему уравнение Фоккера-Планка (Л.П. Питаевский, 1962). Введем функцию распределения захваченных электронов по их (отрицательным) энергиям е. Основную роль будет, естествен- но, играть «диффузия» по области энергий \е\ ~ Т. Напомним в этой связи, что температуру надо во всяком случае считать здесь малой по сравнению с ионизационным потенциалом ато- мов /; при Т ~ / газ был бы уже практически полностью иони- зованным (ср. V, § 104). г) В случае радиационной рекомбинации равновесность состояния пред- полагает также и равновесность излучения в плазме. § 24 РЕКОМБИНАЦИЯ И ИОНИЗАЦИЯ 133 Уравнение Фоккера-Планка: ^ = -^, s = -Bd-l-Af. B4.4) Как обычно, коэффициент А можно выразить через В из условия 5 = 0 при / = /о, где /о - равновесное распределение. После этого поток s примет вид 5 = -В/0|4- B4.5) де /о «Коэффициент диффузии» 5(б) определяется по общему прави- лу как В(е) = Ш?, B4.6) где Аб — изменение энергии возбуждения атома при его столкно- вении с невозбужденным атомом; вычисление В(е) по этой фор- муле сводится к решению механической задачи о столкновении и последующему усреднению по скорости невозбужденного атома (см. задачу 2). Для нахождения функции fo(s) замечаем, что равновесное распределение по импульсам и координатам для электрона в ку- лоновском поле заряда ze (заряд иона) дается формулой Больц- мана /о(р, г) = BтгтТ)-3/2е-/г, е = f - *?- B4.7) 2т г (о ее нормировке см. ниже); движение электрона при \е\ ~ Т <^ I квазиклассично, что и позволяет использовать для энергии е ее классическое выражение. Функция же распределения по е есть, следовательно, /о(б) de = BтгтТ)-3/2е1?1/тт(б) de, B4.8) где т{е) — объем фазового пространства, отвечающий интерва- лу de: т(е) = [б(\е\ +*?--??) d3xd3p. B4.9) J \ 2гп г / Заменив d?x d3p = 4тгг2 dr • 4тф2 dp и произведя интегрирование, получим т(е) = ^^Гт3/\ B4.10) V ^ |в|5/2 V J Для формулировки условий, определяющих нужное нам ре- шение уравнений B4.4), B4.5), удобно считать, что наличная плотность электронов в газе Ne ^> Ще; тогда в B4.1) можно пре- небречь скоростью ионизации /3, так что убыль Ne будет опре- деляться одной лишь рекомбинацией. В этих условиях постоян- ное значение потока s в стационарном решении уравнения B4.4) 134 ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЛ. II прямо дает значение коэффициента рекомбинации (s = const = = —а), если только функция f(s) должным образом нормиро- вана. Именно, на самых верхних уровнях {\е\ <С Т) электроны находятся в равновесии со свободными электронами; это значит, что должно быть Де)//о(е)-> 1 при |е|->0, B4.11) причем нормировка fo(s) должна отвечать одному свободному электрону в единице объема (что и выполнено в B4.7)). Для нахождения второго граничного условия (при е —>• — оо) замечаем, что распределение на глубоких уровнях возбужден- ного атома не возмущено наличием свободных электронов и не зависит от их числа: оно пропорционально равновесному числу TVoe; a не фактическому Ne. При условии Ne ^> Nq6 эта ситуация выражается граничным условием Де)//о(е)->О при |е|-> оо. B4.12) Интегрируя уравнение s = const с граничным условием B4.11), имеем И / х f d\e\ , л — = const / —— + 1. /о J В/о О Константа будет совпадать с —а, если определить ее так, чтобы удовлетворилось условие B4.12). Таким образом, находим окон- чательно B4.13) V J Bf0 7T^(ze^J B(-\s Эта формула относится к процессу, в котором роль «третьего тела» играет невозбужденный атом. Если газ уже сильно ионизо- ван (что, однако, еще совместимо с условием Т <^ I) и достаточно плотен, основная роль может перейти к рекомбинации с участи- ем второго электрона в качестве третьего тела. Скорость реком- бинации становится тогда пропорциональной N^Ni, так что ко- эффициент рекомбинации, определенный по-прежнему согласно B4.1), будет сам пропорционален Ne. Поскольку релаксация по энергии при электронных соударениях происходит быстро, изло- женный метод вычисления коэффициента рекомбинации в этом случае неприменим.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Рекомбинация и ионизация» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
