Это следствие можно назвать законом степени: . (3.6) Теперь, используя законы сопоставления, можно получить операторы для основных физических величин – функций состояния. П.1. Оператор вектора импульса материальной точки.
, (3.7) где ( – известный дифференциальный оператор “набла”. Таким образом, действие оператора на произвольную пси-функцию ((x, y, z) приводит к градиенту этой функции: . (3.8) П.2. Оператор кинетической энергии материальной точки. . Масса частицы m – это параметр, который можно считать константой. Поэтому , (3.9) где ( – известный дифференциальный оператор Лапласа. Читателю этот оператор должен быть знаком – он входит в одно из важнейших уравнений электростатики – уравнение Пуассона: (( = (/(. П.3. Оператор потенциальной энергии материальной точки. Потенциальная энергия – это функция от координат материальной точки. Однако это – не какая-то определённая функция. Её конкретный вид зависит от того силового поля, в котором находится частица. Пример 1. Однородное гравитационное поле вблизи поверхности Земли. Ось OZ системы координат направлена вертикально вверх. При этом . Так как m и g – это константы, а оператор координаты z – это оператор умножения на z, то и оператор потенциальной энергии будет оператором умножения на потенциальную энергию: . (3.10) Пример 2. Частица находится в поле упругой силы, направленной вдоль оси OX. В этом случае потенциальная энергия частицы выражается формулой: . Учитывая, что k – это константа, а оператор координаты x есть оператор умножения на x, снова можно легко доказать, что и в этом случае оператор потенциальной энергии – это оператор умножения на потенциальную энергию: . (3.11) Полученный результат можно, оказывается, обобщить на любое выражение для потенциальной энергии и вообще на любую физическую величину, зависящую только от координат материальной точки. Если F есть функция состояния материальной точки, зависящая от координат точки и не зависящая от её импульса, то оператор этой величины является оператором умножения на F. Итак оператор потенциальной энергии есть всегда оператор умножения на потенциальную энергию. П.4. Оператор полной энергии материальной точки. В механике полная энергия материального объекта, записанная в виде функции от координат и импульсов, называется функцией Гамильтона и обозначается буквой H.
Оператор функции Гамильтона механической системы (оператор полной энергии) называется оператором Гамильтона или гамильтонианом и обозначается . Используя результаты, полученные в П.1 и в П.2, можно записать: . (3.12) В следующем параграфе будут рассмотрены операторы проекций момента импульса материальной точки Lx, Ly и Lz,. Эти операторы представляют самостоятельный интерес, так как их спектр – всегда дискретный.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Следствие из закона произведения» з дисципліни «Квантова фізика»
