Спинор ?а^ с одним пунктирным и одним непунктирным ин- дексами имеет 2-2 = 4 независимые компоненты — как раз столь- ко, сколько компонент имеет 4-вектор. Ясно поэтому, что тот и другой реализуют одно и то же неприводимое представление собственной группы Лоренца, и между их компонентами должно иметься определенное соответствие. Для установления этого соответствия обратимся прежде все- го к аналогичному соответствию в трехмерном случае, учиты- вая, что по отношению к чисто пространственным вращениям поведение 3- и 4-спиноров должно быть одинаковым. Для трехмерного спинора фа@ имеют место формулы соот- ветствия (см. III, § 57), которые мы запишем здесь в виде где аж, ау, az—компоненты некоторого трехмерного вектора а. Переходя к четырехмерному случаю, надо заменить компонен- ты ф°о на (а@, а под аж, ayi az понимать контравариантные ком- поненты а1, а2, а3 4-вектора. Что же касается выражения для четвертой компоненты вектора, а0, то его вид заранее ясен из § 18 СВЯЗЬ СПИНОРОВ С 4-ВЕКТОРАМИ 87 отмеченного в § 17 обстоятельства: величина A7.6) должна пре- образовываться как а0. Поэтому а0 ~ (и + ?22; коэффициент пропорциональности определяется так, чтобы скаляр СаяСа^ сов- падал со скаляром 2а/ха/х = 2а2. Таким образом, мы приходим к следующим формулам соот- ветствия: «^(с^+с21), «2 = k12-c2i), 2 ? I1»1) Обратные формулы: С22 = Сп = а° - а3, С12 = -C2i = а1 - «а2, С21 = -С12 = а1 + ш2. При этом CQ/jCa4 = 2а2. A8.3) Отметим также, что СарС? = S>2- A8.4) Последнее равенство следует из того, что спинор второго ранга (ар(!у антисимметричен по индексам cry и потому пропорциона- лен метрическому спинору. Соответствие между спинором (а@ и 4-вектором является частным случаем общего правила: всякий симметричный спинор ранга (/с, к) эквивалентен симметричному неприводимому (т. е. обращающемуся в нуль при упрощении по любой паре индексов) 4-тензору ранга к. Связь между спинором и 4-вектором можно записать в ком- пактном виде с помощью двухрядных матриц Паули : /О 1\ /0 -г\ /1 0\ ,10_ч Если обозначить символически посредством ( матрицу величин (а@ с верхними индексами (причем первый — непунктирный), то формулы A8.2) записываются в виде С = а<т + а° A8.6) 1) Для упрощения обозначений операторы (матрицы), действующие на спиновые переменные, будем обозначать буквами без шляпок. ФЕРМИОНЫ (во втором члене подразумевается, конечно, произведение а0 на единичную матрицу). Обратные формулы: a=±Sp(Co-), a° = iSpC. A8.7) С помощью формул A8.6), A8.7) можно установить связь между законами преобразования 4-вектора и спинора и тем са- мым выразить закон преобразования спинора через параметры поворотов 4-системы координат. Запишем преобразование спинора ^а в виде где В — двухрядная матрица, составленная из коэффициентов бинарного преобразования. Тогда преобразование пунктирного спинора: rf'= (В*г,)Р = (г,В+У, A8.9) а преобразование спинора второго ранга (а@ ~ ^arj^ запишем символически как (' = В(В+ . При бесконечно малом преоб- разовании В = 1 + А, где А —малая матрица, и с точностью до малых величин первого порядка С' = С+(АС + СА+). A8.10) Рассмотрим сначала преобразование Лоренца к системе от- счета, движущейся с бесконечно малой скоростью SY (без изме- нения направления пространственных осей). При этом 4-вектор аУ = (а0, а) преобразуется согласно а7 = а - a°6V, а0' = а0 - sl6V. A8.11) Воспользуемся теперь формулами A8.7). Преобразование а0 можно представить, с одной стороны, как а0' = а0 - sl6V = а0 - - Sp((a6V), z а с другой стороны, как ) Для ковариантных компонент: & = (М-1?)а = (?В-1)а, V'& = (VB*-1)& A8.8а) (так, чтобы произведение двух спиноров ^QSQ оставалось инвариантным). § 18 СВЯЗЬ СПИНОРОВ С 4-ВЕКТОРАМИ 89 Эти выражения должны совпадать тождественно (т. е. при про- извольном ?). Отсюда находим следующее равенство: Таким же способом, рассмотрев преобразование а, получим а\ + А+сг = -6V. Эти равенства как уравнения для А имеют следующее решение: А = A+ = --<r?V. 2 Таким образом, бесконечно малое преобразование Лоренца спинора ^а осуществляется матрицей B = l--(anNV, A8.12) где п —единичный вектор в направлении скорости SY. Отсюда легко найти преобразование и для конечной скорости V. Для этого вспомним, что преобразование Лоренца означает (геомет- рически) поворот 4-системы координат в плоскости t n на угол <р, связанный со скоростью V равенством thcp = V г) . Бесконечно малому преобразованию соответствует угол Scp = 8V, а поворот на конечный угол ср осуществляется ср/^-кратным повторени- ем поворота на Sep. Возводя оператор A8.12) в степень tp/Stp и переходя к пределу #<р —>• О, получаем В = е-%па. A8.13) Математический смысл действия этого оператора выясняется, если заметить, что по свойствам матриц Паули все четные сте- пени от по* равны 1, а все нечетные степени равны па. Учиты- вая, что ch разлагается по четным, a sh — по нечетным степеням аргумента, получаем окончательно В = ch^ - ncrsh^ th(p = V. A8.14) Отметим, что матрицы В преобразований Лоренца оказываются эрмитовыми: В = В^~. Рассмотрим теперь бесконечно малый поворот простран- ственной системы координат. При этом трехмерный вектор а преобразуется согласно а; = а- [50а], A8.15) Напомним, что в плоскостях, содержащих ось времени, метрика псевдо- евклидова. 90 ФЕРМИОНЫ где SO — вектор бесконечно малого угла поворота. Соответствую- щее преобразование спинора можно было бы найти аналогичным образом. В этом, однако, нет необходимости, так как по отноше- нию к пространственным поворотам поведение 4-спиноров совпа- дает с поведением 3-спиноров, а для последних преобразование известно заранее из общей связи оператора спина с оператором бесконечно малого поворота: В = 1 + -а5в. A8.16) Переход к повороту на конечный угол в производится аналогич- но переходу от A8.12) к A8.14): В = ехр( —пег ) = cos - + mcrsin-, A8.17) где n —орт оси вращения. Эта матрица унитарна (В+ = В~1), как и должно быть для пространственного поворота.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Связь спиноров с 4-векторами» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
: 