Электромагнитное поле подчиняется уравнениям Максвелла rot? = -^; B.1) **—=7+чЩ-> B.2) где равенство B.1) — закон электромагнитной индукции, а B.2) выражает магнитное поле через его источники. Магнитное поле может создаваться как плотностью электрического тока /, возникающего благодаря упорядоченному движению зарядов, так и током смещения, определяемым последним членом из уравнения B.2). Магнитная и диэлектрическая проницаемости вакуума обозначены \х0 и ео. При определении плотности тока число частиц в макроскопическом элементе объема считается достаточно большим и / задается средним потоком зарядов через единицу поверхности. Аналогично можно определить электрический заряд а в единице объема и закон сохранения заряда записать как divf"^-. B.3) Поскольку операторы у и d/dt коммутируют, применение операции div к уравнениям B.1) и B.2) вместе с уравнением B.3) дает AdivS = 0. B.4) dt v ' JL(e0divE-o) = 0. B.5) at Если допустить, что в некоторый начальный момент времени поля равны нулю, то divS = 0, B.6) 10 и div?= —. B.7) Однако уравнения B.2), B.5) и B.7) справедливы только для вакуума. При рассмотрении электрических и магнитных свойств конденсированных сред их следует модифицировать. При феноменологическом подходе этого можно достичь, если для описания явлений электрической и магнитной поляризации ввести понятия электрической и магнитной восприимчивости, которые рассматриваются при этом как макроскопические свойства среды. Аналогичный подход возможен и при изучении ионизованного газа, но необходимость в этом возникает довольно редко, так как все электрические токи и заряды явно учтены в уравнениях B.2), B.3) и B.7). Решая эти уравнения вместе с уравнениями движения ионизованного газа, можно непосредственно изучать явления поляризации. При этом не нужно вводить ни диэлектрической, ни магнитной проницаемости. Хотя эти концепции предпочтительнее всех других, ими следует пользоваться с осторожностью. В плазме иногда могут существовать такие эффекты, которые не удается выразить через эти эквивалентные параметры. Поэтому необходимо подробно исследовать каждый частный случай. В § 3.2 и разделах 2.4 и 2.5 гл. 8 приведены примеры такого детального анализа. Условие B.6) означает, что В всегда можно предста- вить в виде ротора от векторного потенциала А В = rot А. Тогда выражение B.1) 'принимает вид «*{*+?)-о или ? -*" дЛ Е = — уф , B.8) B.9) B.10) 11 где ф — скалярный электрический 'потенциал. Подставляя выражения B.8) и B.10) в уравнение B.2), получаем ^A-±^-v(divA + ±.^)^-^J B.11) где c= (\xoeo)~~ —'скорость света. Кроме того, из уравнений B.10) и B.7) следует V2cp-fdiv^ = *-. B.12) dt е0 До сих пор магнитное поле В не было однозначно связано с вектором А, поскольку к А 'всегда можно добавить градиент у X произвольной скалярной функции х, не нарушая соотношения B.8). Итак, 'вектор Л' = Л + уу. BЛЗ) удовлетворяет соотношению B.8). Для того чтобы электрическое поле по-прежнему определялось соотношением B.10), вместо ф нужно ввести потенциал ?' = Ф—J-. B.14) Замена (потенциалов А и ср величинами А' и <р' называется калибровочным преобразованием. Особый интерес 'представляет такое калибровочное преобразование, для которого выражение 1 с2 dt , 1 . *У. c2 dt2 B.15) равно нулю. Поскольку функция х произвольна, то при 'соответствующем выборе ее это в'сегда выполнимо. В результате получается условие Лоренца divl+ — .-^=0. B.16) с* dt 12 При помощи этого условия уравнения B.11) и B.12) можно записать в виде неоднородных волновых уравнений v2^ - — • — = - и-оТ; B-17) f^_i.J5L=_JL. BЛ8) Полное решение уравнений B.17) и B.18) является суммой общего решения однородного уравнения с правой частью, равной нулю, >и частного решения неоднородного уравнения A&t) = -^ f iV-'-^dV* B.19) или , Е 0 - V- f ^Ц=^" dV. B.20) Здесь p — радиус-вектор точки наблюдения; р* — радиус-вектор элемента объема распределения заряда и тока, а /?* = р—р*. Интегрирование по элементам объема dV* распределения заряда и тока выполняется в момент времени t* = t—R*/c. Решения B.19) и B.20) называют запаздывающими потенциалами. Они также удовлетворяют условию B.16).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнения Максвелла» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
